Derivace se využívají k výpočtu rychlosti a zrychlení pohybů.
Dráha je určena jako funkce času: např. s = 5t2 - 4t + 1
A) Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený:
s = At2 + Bt + C (dráha je vyjádřena jako funkce s proměnnou t)
v = s´= 2At + B (rychlost je první derivací dráhy podle času t)
a = s" = 2A (zrychlení je druhá derivace dráhy podle času)
Příklad:
Určete počáteční rychlost přímočarého pohybu tělesa, pro jehož dráhu platí: s = 12 + 200t - 5t2, kde t je čas od začátku pohybu. Kdy se těleso zastaví? Jaké je zrychlení pohybu?
Řešení: v = s´
v = 200 - 10 t
Kdy se zastaví - jeho rychlost bude v = 0:
0 = 200 - 10 t
10 t = 200
t = 20 s Těleso se zastaví za 20 sekund.
Určíme zrychlení pohybu: a = s"= -10 m/s2 Jedná se o pohyb zpomalený.
Počáteční rychlost: t = 0 v = 200 - 10× 0 = 200 m/s.
B) Pohyb po kružnici:
úhlová dráha: j = At2 + Bt + C ( dráha je vyjádřena jako funkce s proměnnou t )
úhlová rychlost: w = j´= 2At + B ( rychlost je první derivací dráhy podle času t )
úhlové zrychlení: g = j"= 2A ( zrychlení je druhá derivace dráhy podle času )
Příklad:
Brzděné kolo se otočí za čas t o úhel j, který je kvadratickou funkcí času. Zastaví se za 5 sekund a vykoná za tuto dobu 150 otáček.Jaká je počáteční rychlost w0 kola a jaké je úhlové zrychlení g ?
Řešení: j = At2 + Bt + C v této rovnici musíme určit koeficienty A,B,C
Je dáno: „zastaví se za 5 sekund“ w = j´= 2At + B t = 5, w = 0
získáme rovnici 0 = 2A × 5 + B
0 = 10A + B
V čase t = 0 urazí dráhu j = 0 : j = At2 + Bt + C
0 = C
Je dáno: „za 5sekund vykoná 150 otáček“ ... urazí úhlovou dráhu j = 150×2p = 300p , t = 5 s
300p = 25A + 5B + C
Po dosazení C = 0 dostaneme rovnici 300p = 25A + 5B.
Máme soustavu rovnic: 0 = 10A + B
300p = 25A + 5B /: (- 5 )
0 = 10A + B
-60p = -5A - B
-60p = 5A
A = -12p B = 120p
Dosadíme zpět do rovnice pro výpočet úhlové rychlosti na počátku a úhlového zrychlení:
Rychlost na počátku pohybu:
w = j´= 2At + B
w = - 24pt + 120p na počátku pohybu t = 0
w = 120p
Zrychlení pohybu
g = j"= 2A
g = - 24p Pohyb je zpomalený.
Příklad:
Těleso se pohybuje po dráze určené rovnicí: s = At2 + Bt + C . Po uplynutí 1 minuty dosáhne rychlosti 60 km/hod. Jak velkou vzdálenost ujede, než této rychlosti dosáhne? Jaké je zrychlení pohybu jedná-li se o pohyb z klidu?
Řešení: s = At2 + Bt + C
v = 2At +B
a = 2A
V čase t = 0 urazí dráhu s = 0: s = At2 + Bt + C
0 = C
Jedná se o pohyb z klidu: t = 0, s = 0, v = 0: v = 2At +B
0 = B
Je dáno: „po uplynutí 1 minuty dosáhne rychlosti 60 km/hod“ ...... t = 60s , v = 16,667 m/s
16,667 = 120A + B
Po dosazení B = 0: 16,667 = 120A
A = 0,139
Jakou urazí dráhu za 60 s? s = 3600A + 60 B
Po dosazení B = 0 : s = 3600A
Po dosazení A = 0,139 : s = 500 m
Zrychlení pohybu: a = 2A a = 0,278 m/s2
Příklad:
Kolo setrvačníku se rozbíhá tak, že úhel otočení je přímo úměrný druhé mocnině času. První otáčka trvala 8 sekund. Určete úhlovou rychlost po 32 sekundách pohybu.
Řešení: j = At2
t = 8s ....... j8 = 2 p j8 = 64 A
2 p = 64 A
A = π/32
ω = 2At
ω32 = 2.(π/32).32 = 2π
Úhlová rychlost po 32 s od počátku je 2π.